三角形，圆内等概率随机生成一个点
三角形内随机生成一个点
在三角形内生成一个点
已有一个能生成0到1之间的数，并且这些数是均匀分布的随机生成器，给定一个任意的三角形，如何能在三角形内随机的生成一个点？
如上面这个三角形，点D就是三角形内部随机的一个点。一种简单的方法是通过如下公式生成D点：
或者
其中，a和b是两个独立随机生成器
要求等概率的情况
以上的两个公式很好的解决了在三角形内随机生成一个点的问题。然而三角形内每一个点被取到的概率一样吗？
拿
来说。a和b从0开始，每隔1/n取一个点。但n＝3时，a和b的取值为{0, 1/3, 2/3, 1}，将取到的D点在三角形种标出，如下图
很明显，靠近C点的地方D取值的概率更大。但n趋近于正无穷的时候，上面的图就是D取值的概率密度函数。很显然，三角形内每一个点被取到的概率并不相等。
为了克服这个问题，一名睿智的同学提出了如下的方法：
-
将三角形扩充成一个矩形
-
将矩形的两条边分别线性映射成一个随机生成器，这两个随机生成器相互独立
-
如果生成的D点在三角形外，将D以靠近的边为对称轴映射到三角形内的D'上。
显然随机生成的点在矩形内的分布是等概率的，第3部的映射也是一一对应的，因此在三角形内生成的点也是均匀分布的。
多边形内随机生成一个点
多边形可以先分割成多个三角形。根据面积的比率，使用一次随机生成器确定点落在哪个三角形内。然后在使用上面的方法在三角形内随机生成一个点。
圆内随机生成一个点
给定一个半径为R的圆，如何在圆内等概率随机生成一个点？
圆用笛卡尔坐标系很不好处理，自然想到使用极坐标系。a表示OD与极轴的夹角，r表示D到坐标原点的距离。a从0度到360度，r从0到R。
如果将a和r直接线性映射到两个独立的随机生成器上。很明显圆内的概率密度函数并不相等。
当r为一个定值，D的轨迹为一个圆，圆的周长＝2 πr。如果我们能使D点落在任意一个圆的周长的单位长度上的概率相等，即可使圆内概率相等。简单的说，如果有一个随机生成器取r的概率和r线性相关，就可以搞定这个问题。
构造如下的方法解决这个问题：
如图，构造一个边长为R的等腰直角三角形。使用等概率在三角形内生成一个点的方法生成D点。将R减D点的x坐标设置为r。
此时，r取值概率与r的大小线性相关，满足上面条件。因此，用此方法生成的点在圆内等概率分布。
2013年9月23日 10:55
为什么很大的页面，文章的宽度这么窄啊？能有办法调一下吗？
2013年9月23日 14:47
没有办法呀，主题就是这么蛋疼@kitt:
2013年9月23日 15:14
试一下Todo主题，“外观”的倒数第二个 @hustsxh:
2013年11月04日 00:06
CD = b(aAB+CA)
请问这公式是如何得知的？
2013年11月08日 18:51
@Rex: 这个是构造出来的，你在AB边上选一个点记为E，向量AE= alpha * 向量AB，向量CE = (alpha * 向量AB + 向量CA)，然后就是 向量CD = beta * (alpha * 向量AB + 向量CA)了
2014年3月19日 00:04
显然应该用 rejection method，楼主在瞎搞。
2014年3月19日 09:06
楼主比较弱，学习了@uulm:
2015年3月10日 12:52
asd
2015年3月10日 12:55
我们认为，a和b是两个独立随机生成器（且范围都是[0,1]），那么三角形那里给出的第二个公式
三角形内取到的概率不是均匀的
2015年3月10日 13:24
@peter: 是的，这样做确实不均匀
2015年8月13日 00:50
不是轴对称，是中心对称
2023年4月24日 15:06
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2023年4月24日 15:08
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2024年2月21日 21:10
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